Jak uczyć matematyki w klasach I - III

Kształtowanie pojęć matematycznych u dzieci jest ściśle związane z etapami rozwoju myślenia ustalonymi przez Piageta.

Pierwszy okres rozwoju umysłowego człowieka trwa ok. 18 miesięcy i został nazwany okresem integracji praktycznej, jest to tzw. myślenie sensoryczno - motoryczne. Aktywność poznawcza jest tu nastawiona na poznanie świata i porządkowanie najbliższej przestrzeni - rozumienie stałości przedmiotu i cech przedmiotu.
Następny etap, to okres kształtowania operacji konkretnych - trwa do 11 roku życia i podzielony został na dwa podokresy:
- Pierwszy - przedoperacyjny, zwany także stadium wyobrażeń przedoperacyjnych, trwa do 7 roku życia. Jest to czas przygotowywania i dojrzewania pierwszych operacji konkretnych.
- Drugi, w którym zdolność do operacyjnego rozumowania rozszerza się z kategorii liczbowych na kategorie przestrzenno - czasowe. Powoli ustala się rozumowanie operacyjne, umacnia się i organizuje w system rozumowania o spoistej, operacyjnej i konkretnej logice.

Po osiągnięciu pełnych kompetencji zaczyna się stopniowe przechodzenie do następnego okresu - rozumowania na poziomie operacyjnym typu formalnego, jakim powinni posługiwać się dorośli.

Aby dziecko było zdolne uczyć się matematyki, musi posługiwać się rozumowaniem operacyjnym na poziomie konkretnym - wystarczającym dla rozumienia elementarnych pojęć matematycznych. Pojawia się ono w życiu przeciętnego dziecka około 7 roku życia, czyli wtedy, kiedy dzieci rozpoczynają naukę w klasie pierwszej. Jednak nie wszystkie dzieci rozwijają się w tym samym tempie. Niektóre już w wieku 6 lat stosują w swym rozumowaniu operacje konkretne, inne nie potrafią tego robić mając lat 7. Dzieci, u których tempo rozwoju jest wolniejsze rozpoczynają naukę matematyki bez koniecznej dla jej pojmowania dojrzałości intelektualnej - rozumują na poziomie logiki przedoperacyjnej i nie są w stanie pojąć sensu elementarnych pojęć matematycznych. Często ma na to wpływ wiek urodzenia dziecka w chwili podjęcia nauki.

Przed przystąpieniem do realizacji zagadnień programowych, nauczyciel powinien przebadać uczniów, czy osiągnęli oni dojrzałość operacyjną rozumowania na poziomie konkretnym.

1. Badanie operacyjności rozumowania w zakresie stałości ilości nieciągłych.

Pomoce do badań:
6 krążków dużych (średnica 4 cm) i 6 krążków małych (średnica 2 cm).

Zadania:
- Kładziemy na stoliku 6 krążków dużych i 6 małych, dbamy o to, aby długość szeregów była taka sama, jednak układ krążków nie może sugerować odpowiedniości "jeden do jednego". Następnie każemy dziecku podać najpierw krążek duży, potem podnieść krążek mały. Pytamy, których krążków jest więcej. Nie pozwalamy ich liczyć, jeśli dziecko chce może je połączyć w pary.
- Krążki duże pozostawiamy bez zmian, małe krążki zsuwamy tak, aby dotykały się wzajemnie. Pytamy dziecko, których krążków jest więcej, których jest mniej, dlaczego tak sądzi.
- Z krążków małych budujemy wieżę, krążki duże rozkładamy nieregularnie. Zadajemy pytania jak poprzednio.

Analiza wypowiedzi dzieci.
Dziecko może formułować sądy dotyczące ilości badanych zbiorów w różny sposób. Ważne jest z jakiego rozumowania wynika dana wypowiedź, świadczy ona bowiem o jednej z trzech możliwych faz rozwoju rozumowania operacyjnego.

A. Faza nieuznawania przez dziecko zasady stałości ilości nieciągłych (poziom przedoperacyjny).
Podstawą wnioskowania jest obraz przestrzenny zaobserwowany przez dziecko
i dlatego twierdzi ono konsekwentnie "jest więcej" zawsze tam, gdzie szereg zajmuje wizualnie więcej miejsca. Dziecko nie potrafi jeszcze przegrupować elementów
w wyobraźni, ani przyporządkować "jeden do jednego".

B. Faza przejściowa - zapowiada szybkie osiągnięcie dojrzałości operacyjnej rozumowania w zakresie stałości ilości nieciągłych.
Dziecko potrafi przyporządkować w działaniu "jeden do jednego", ale kiedy zmienimy obraz przestrzenny, dziecko przeżywa konflikt, waha się, jest skłonne zmienić swój sąd, gdyż informacje napływające ze spostrzeżeń są dominujące.

C. Faza uznawania przez dziecko stałości nieciągłych - poziom operacyjnego rozumowania konkretnego.
Niezależnie od konfiguracji elementów w badanych szeregach, dziecko konsekwentnie twierdzi "jest tyle samo". Potrafi w wyobraźni przegrupować elementy badanego zbioru, uznaje operacje przekształcające jako odwracalne. Tym samym posiada dojrzałość operacyjną rozumowania na poziomie konkretnym w zakresie uznawania stałości ilości nieciągłych.

2. Badanie operacyjności rozumowania na poziomie konkretnym w zakresie szeregowania (tworzenia konsekwentnych serii).

Pomoce do badań:
20 patyczków - najdłuższy ma 10 cm, każdy następny jest o 4mm krótszy.

Zadania:
- Kładziemy przed dzieckiem patyczki w pudełku, pozwalamy je oglądać, wysypywać, układać przez okres 1 minuty.
- Każemy dziecku ułożyć patyczki od najkrótszego do najdłuższego lub jeśli chce od najdłuższego do najkrótszego. Jeśli dziecko nie rozumie co ma zrobić, układamy dwa pierwsze patyczki i polecamy, aby układało dalej.

Analiza sposobu rozwiązania zadania.
Ułożenie 20 patyczków o małych różnicach w długości jest dla dziecka trudne. Jeśli dziecko nie osiągnęło poziomu rozumowania na poziomie konkretnym, będzie się starało rozwiązać zadanie na miarę swoich możliwości, często metodą prób i błędów.

A. Poziom przedoperacyjny - dziecko nie potrafi szeregować patyczków metodą operacyjną.
Zadanie jest wyraźnie za trudne. Dziecku nie udaje się porównać elementów tak, aby uzyskać uporządkowaną serię. Obserwujemy próby układania małych szeregów po trzy, cztery patyczki. Próby ułożenia małych szeregów w cały ciąg kończą się fiaskiem. Dziecko nie jest jeszcze zdolne do rozumowania A<B i B<C, to A<C.

B. Faza szeregowania metodą "prób i błędów", zapowiada szybkie osiągnięcie poziomu operacji konkretnych.
Zadanie jest dla dziecka trudne. Układa kilka patyczków, następnie próbuje włączyć pominięte patyczki w tworzony szereg. Dziecko popełnia błędy, przekłada patyczki, manipuluje nimi, ale mimo trudności udaje mu się uporządkować cały zbiór.

C. Faza odkrycia przez dziecko metody operacyjnego szeregowania elementów w zbiorze (operacyjne tworzenie konsekwentnych serii).
Dziecko zaczyna systematycznie porządkować patyczki: wybiera najmniejszy lub największy, a następnie dobiera kolejne patyczki, aż porządkuje wszystkie elementy. Taki sposób postępowania wskazuje, że dziecko potrafi już rozumować, że jeżeli A<B i B<C, to A<C. Taki poziom rozwiązania zadania świadczy o dojrzałości operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym w zakresie tworzenia konsekwentnych serii.

3. Badanie operacyjności rozumowania na poziomie konkretnym w zakresie ilości tworzywa.

Pomoce do badań:
Dwie kulki plasteliny o średnicy około 3 cm, każda w innym kolorze.

Zadania:
- Kładziemy przed dzieckiem dwie kulki plasteliny. Dziecko je ogląda i porównuje, stwierdza czy mają w sobie tyle samo plasteliny. Jeśli uzna, że nie są jednakowe może je przeformować lub dołożyć plasteliny.
- Z jednej kulki formujemy długi wałek. Kładziemy przed dzieckiem kulkę i wałek, pytamy czy tu (w kulce) i tu (w wałku) jest tyle samo plasteliny i dlaczego?
- Ponownie formujemy dwie takie same kulki i pytamy czy są jednakowe. Po uzyskaniu odpowiedzi potwierdzającej, z jednej kulki formujemy duży placuszek. Kładziemy przed dzieckiem kulkę i placuszek, pytamy czy tu i tu jest tyle samo plasteliny i dlaczego tak sądzi.
- Formujemy ponownie dwie jednakowe kulki. Następnie z jednej kulki robimy 6 małych kulek, a drugą pozostawiamy bez zmian. Kładziemy przed dzieckiem 6 małych kulek i 1 dużą, po czym pytamy jak jest teraz. Czy tu i tu jest tyle samo plasteliny?

Uwaga: dziecko w trakcie badań może dotknąć, porównywać, przeformować plastelinę.

Analiza wypowiedzi dzieci.
W tym badaniu nie jest ważna forma wypowiedzi, ale fakt z jakiego rozumowania wychodzi dziecko.

A. Faza nieuznawania przez dziecko zasady zachowania stałości ilości tworzywa, mimo obserwowanych przekształceń (poziom przedoperacyjny).
Podstawą wnioskowania jest spostrzeżeniowy obraz przestrzenny, dziecko twierdzi, że jest więcej tam, gdzie przekształcona kulka zajmuje więcej miejsca.

B. Faza przejściowa, zapowiada szybkie osiągnięcie poziomu konkretno - operacyjnego.
Dziecko potrafi na podstawie obserwacji czynności ustalić stałość zachowania masy tworzywa, ale informacja z obserwacji jest sprzeczna z wcześniej ustalonym sądem. Dziecko jest skłonne zmienić swój sąd, ponieważ nie potrafi jeszcze ująć działań przekształcających jako odwracalne. Wahanie i zmienność sądów to wskaźniki tej fazy.

C. Faza uznawania zasady stałości ilości tworzywa (poziom dojrzałości operacyjnego rozumowania w tym zakresie).
Niezależnie od przekształcenia, dziecko konsekwentnie twierdzi "jest tyle samo". Potrafi uznać działania odkształcające tworzywo jako odwracalne. Jest to wskaźnikiem osiągnięcia dojrzałości operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym w tej dziedzinie.

4. Badanie operacyjności rozumowania na poziomie konkretnym w zakresie stałości zachowania długości.

Pomoce do badań:
2 kawałki drutu w izolacji o długości 30 cm każdy, nożyczki.

Zadania:
- Kładziemy przed dzieckiem druty, każemy mu sprawdzić czy są tej samej długości. Jeśli dziecko uzna, że nie, należy je obciąć tak, aby według dziecka były jednakowe. Odkształcamy jeden z drutów tworząc spiralę. Kładziemy przed dzieckiem drut prosty i odkształcony, pytamy czy druty mają teraz jednakową długość. Prosimy o uzasadnienie sądu.
- Prostujemy drut. Po stwierdzeniu przez dziecko, że oba są takie same, drut który był poprzednio prosty odkształcamy tworząc z niego okrąg. Kładziemy przed dzieckiem okrąg i drut prosty, pytamy - czy druty teraz mają taką samą długość.
- Prostujemy drut, gdy dziecko stwierdzi, że mają taką samą długość, drut który był poprzednio prosty zmieniamy w linię łamaną. Kładziemy przed dzieckiem oba druty, pytamy czy są takie same.

Uwaga: Jeżeli dziecko chce wziąć druty do ręki i sprawdzić czy mają taką samą długość przez rozprostowanie ich, pozwalamy na to.

Analiza wypowiedzi dzieci.
Dziecko może formułować swoje sądy w różny sposób, ważne jest na podstawie jakich procesów dziecko twierdzi tak czy inaczej, dlatego każda wypowiedź powinna być przedmiotem analizy.

A. Faza nieuznawanie przez dziecko stałości długości (poziom przedoperacyjny).
Podstawą rozumowania jest obraz przestrzenny, dziecko twierdzi, że drut jest dłuższy zawsze tam, gdzie jest drut prosty. Nie potrafi ujmować przekształceń jako proces odwracalny.

B. Faza przejściowa, zapowiada rychłe osiągnięcie rozumowania operacyjnego w zakresie długości.
Dziecko potrafi na podstawie obserwacji ustalić stałość długości, ale spostrzeżeniowy obraz stoi w sprzeczności z tym co ustaliło. Dziecko jest niepewne swoich sądów i jest skłonne je zmienić.

C. Faza uznawania przez dziecko stałości długości mimo obserwowanych przekształceń - operacyjne rozumowanie w zakresie długości.
Niezależnie od przekształceń, dziecko twierdzi, że oba druty są takie same. Potrafi działania przekształcające ujmować jako odwracalne, więc posiada dojrzałość operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym w odniesieniu do długości.

Natura dojrzałości do uczenia się matematyki jest taka, że nie można jej ukształtować u dzieci ani przez przekazywanie i powtarzanie wzorów zachowań, ani przez wyjaśnianie. Dziecko musi wszystko samodzielnie zdobyć, odkryć i wypróbować. Należy dzieciom pozwolić na samodzielne badanie i eksperymentowanie, gdyż jest to najlepsza droga poznania.

Z chwilą rozpoczęcia nauki wymaga się od dziecka, aby potrafiło funkcjonować na 3 poziomach: enaktywnym, ikonicznym i symbolicznym, a ponadto musi umieć swobodnie przechodzić z jednego poziomu reprezentacji na drugi.

Bezpośrednie porównywanie, grupowanie, odgradzanie konkretnych przedmiotów (np. guzików),składa się na klasyfikacje na poziomie enaktywnym. Jednak ze względu na możliwości organizacyjne zajęć w klasie, rzadko stosuje się zadania na konkretach. Należy nad tym ubolewać, bo właśnie ten rodzaj aktywności jest najbliższy dziecku i powinien dominować na zajęciach matematyki, zwłaszcza w klasie pierwszej.

W praktyce konkrety najczęściej zastępuje ilustracja. Rozwiązanie zadania odbywa się nie w przestrzeni, ale na płaskim obrazie, kiedy to uczeń obrysowuje wcześniej wspomniane guziki pętlami. Mamy tu do czynienia z rozwiązywaniem zadania na poziomie reprezentacji ikonicznej. Większość zadań, które dziecko otrzymuje do rozwiązania jest sformułowana w formie tekstu pisanego lub w postaci schematycznego rysunku (np. diagramy Venna), czyli na poziomie reprezentacji symbolicznej.

Jeśli nauczanie matematyki od początku realizowane jest na poziomie reprezentacji ikonicznej i symbolicznej, a dzieci pozbawione są możliwości manipulowania przedmiotami, niektóre z nich nie potrafią zrozumieć zadania, nawet jeśli nauczyciel je zainscenizuje, aby widziały przekładane przedmioty. Dziecko wynosi inne doświadczenia patrząc na wykonywaną czynność, a inne gdy tę czynność wykona samodzielnie. Ponadto dziecko musi rozumieć sens kodowania i dekodowania informacji za pomocą umownych symboli. Prosty zapis działań 3+2=5, 7-3=4 jest zapisem symbolicznym i dla wielu uczniów jest nieczytelny, jeżeli nie widzą i sami nie przeliczają przedmiotów. Również schematy graficzne (grafy, drzewka, strzałki) są symbolicznym przedstawieniem określonych sytuacji, ułatwiają przechodzenie z poziomu reprezentacji enaktywnych, przez poziom ikoniczny do reprezentacji symbolicznej. Dla sprawnego posługiwania się każdym rodzajem reprezentacji graficznych, dziecko musi wcześniej na wiele sposobów wykonać dany typ czynności (poznawanie enaktywne), aby zrozumieć co one reprezentują i w jaki sposób można się nimi posługiwać. I tak:
- graf - strzałka wywodzi się z gestu wskazywania,
- diagramy Venna - z czynności grodzenia,
- drzewko - obrazuje łączenie, zsypywanie razem.

Ważnym wskaźnikiem dojrzałości do uczenia się matematyki jest zakres umiejętności nazywany "dziecięcym liczeniem", czyli przeliczanie przedmiotów, ustalanie gdzie jest mniej, a gdzie więcej, określanie wyniku dodawania i odejmowania. Większość dzieci nie ma z tym problemów pod warunkiem, że widzą liczone przedmioty lub mogą sobie pomagać palcami, dlatego też nie wolno im tego zabraniać.

Uczenie matematyki w młodszym wieku szkolnym powinno być oparte przede wszystkim na działaniu dzieci, a nie pamięciowym wyuczeniu materiału programowego, czy wielokrotnym rozwiązywaniu zadań tego samego typu, prowadzącym do schematyzmu myślowego. Działania nauczyciela mają doprowadzić do rozwijania aktywności matematycznej każdego ucznia.

Literatura:
1. Psychologia rozwojowa dzieci i młodzieży pod red. M. Żebrowskiej, PWN, W - wa 1976.
2. Nauczanie początkowe matematyki, Podręcznik dla nauczyciela pod red. Z.Semadeniego, WsiP, W - wa 1981.
3. E. Gruszczyk - Kolczyńska, Diagnoza niepowodzeń w uczeniu się matematyki u dzieci klas początkowych, Uniwersytet Śląski, Katowice 1985.

Opracowanie: Małgorzata Fabin

Wyświetleń: 3299