Dla liceum profilowanego na podbudowie programowej gimnazjum
A: szczegółowe cele edukacyjne - kształcenia i wychowania
Treści nauczania: "Wielomiany i funkcje wymierne"
W wyniku procesu kształcenia uczeń powinien:
- Znać pojęcie funkcji liniowej
- Wiedzieć, co jest wykresem funkcji liniowej i umieć go sporządzić
- Znać pojęcie równania i nierówności liniowej z jedną niewiadomą
- Znać pojęcie rozwiązania równania i nierówności z jedną niewiadomą
- Umieć zapisać wzór funkcji liniowej
- Umieć podać przykład wzoru funkcji liniowej rosnącej malejącej, stałej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych
- Umieć obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej
- Umieć zapisać równanie i nierówność z jedną niewiadomą
- Umieć z otrzymanego rozwiązania rozpoznać rodzaj równania liniowego
- Umieć określić warunki na to, aby równanie było tożsamościowe, sprzeczne lub posiadało jedno rozwiązanie
- Umieć wyznaczyć wzór funkcji liniowej na podstawie danych warunków (2 punkty, punkt i prosta prostopadła, punkt i prosta równoległa, punkt i kąt nachylenia)
- Umieć sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania, czy spełnia nierówność liniową
- Umieć rozwiązać równanie lub nierówność liniową z jedną niewiadomą
- Umieć zaznaczyć na osi liczbowej rozwiązanie nierówności
- Umieć ułożyć i rozwiązać równanie lub nierówność do zadania z treścią
- Znać pojęcie równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi
- Znać pojęcie nierówności stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi
- Znać pojęcie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi
- Znać pojęcie rozwiązania równania, nierówności, układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi
- Znać metody rozwiązywania układów równań
- Znać algorytmy rozwiązywania układów równań:
- Metoda podstawiania
- Metoda przeciwnych współczynników
- Metoda graficzna
- Metoda wyznaczników
- Znać rodzaje układów równań
- Umieć zapisać równanie, nierówność z dwiema niewiadomymi
- Umieć zapisać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi
- Rozumieć geometryczną interpretację rozwiązania układu równań
- Umieć rozpoznać układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne
- Umieć sprawdzić, czy para liczb należy do zbioru rozwiązań
- - Równania
- Nierówności
- Układu równań z dwiema niewiadomymi
- Umieć rozwiązać równanie, nierówność z dwiema niewiadomymi
- Umieć rozwiązać układ dwóch równań metodą:
- Podstawiania lub przeciwnych współczynników
- Graficzną
- Wyznaczników
- Umieć rozpoznać rodzaj układu równań na podstawie rozwiązania algebraicznego lub graficznego
- Umieć rozwiązać układ równań z parametrem
- Umieć ułożyć i rozwiązać układ równań do zadania z treścią
- Znać pojęcie jednomianu stopnia drugiego
- Znać i rozumieć pojęcie trójmianu stopnia drugiego
- Znać i rozumieć pojęcie postaci kanonicznej trójmianu
- Umieć sprowadzić funkcję kwadratową do postaci kanonicznej
- Znać pojęcie postaci ogólnej trójmianu
- Rozpoznawać postaci trójmianu
- Znać pojęcie miejsca zerowego, wyróżnika trójmianu
- Umieć obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej
- Umieć sporządzić wykres funkcji kwadratowej (współrzędne wierzchołka paraboli, punkty przecięcia z osiami)
- Znać własności funkcji kwadratowej
- Znać wzory Viete`a
- Umieć na podstawie wzorów Viete`a podać pierwiastki trójmianu kwadratowego oraz określać ich znaki
- Umieć wyprowadzić wzory Viete`a
- Znać pojęcie równania kwadratowego
- Znać pojęcie nierówności kwadratowej
- Znać i rozumieć pojęcie rozwiązania równania i nierówności kwadratowej
- Umieć stwierdzić, czy równanie ma pierwiastki
- Umieć rozłożyć trójmian na czynniki liniowe
- Umieć rozwiązać równanie i nierówność kwadratową
- Znać i rozumieć pojęcie równania i nierówności kwadratowej z parametrem
- Umieć podać ilość pierwiastków w zależności od parametru
- Umieć rozwiązywać równania kwadratowe z parametrem z wykorzystaniem wzorów Viete`a
- Umieć rozwiązać zadania z treścią prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
- Umieć zastosować własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania prostych zadań praktycznych (np. na wykorzystanie ekstremum funkcji kwadratowej)
- Umieć znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w podanym przedziale
- Znać pojęcie wielomianu jednej zmiennej
- Znać i rozumieć pojecie stopnia wielomianu i równości wielomianów
- Umieć zapisać wielomian dowolnego stopnia jednej zmiennej
- Znać algorytmy dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia wielomianów
- Umieć wykonywać działania na wielomianach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
- Znać i rozumieć pojęcie pierwiastka wielomianu
- Umieć sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
- Znać i stosować twierdzenie Bezout
- Umieć uzasadnić, że dany wielomian dzieli się przez dwumian (x-p) z resztą,czy bez reszty
- Znać metody rozkładu wielomianu na czynniki
- Umieć rozłożyć wielomian na czynniki za pomocą;
- Wzorów skróconego mnożenia
- Grupowania wyrazów
- Wyłączania wspólnego czynnika przed nawias
- Twierdzenia Bezout.
- Znać pojęcie wielomianu i stopnia wielomianu wielu zmiennych
- Umieć zapisać wielomian dowolnego stopnia z dwoma, trzema zmiennymi
- Znać pojęcie rozwiązania równania i nierówności wielomianowej
- Umieć rozwiązywać równania i nierówności n-tego stopnia z jedną niewiadomą
- Umieć zapisać wielomian dowolnego stopnia mając dane jego pierwiastki
- Umieć wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu
- Umieć rozwiązać zadania z treścią prowadzące do równań, nierówności wielomianowych
- Znać pojęcie i rozpoznawać wyrażenia wymierne
- Znać pojęcie dziedziny wyrażenia wymiernego
- Umieć wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego
- Umieć określić działania w zbiorze wyrażeń wymiernych
- Znać i rozumieć pojęcie wspólnego mianownika wyrażeń wymiernych
- Umieć sprowadzić wyrażenia wymierne do wspólnego mianownika
- Umieć znaleźć sumę, różnicę, iloczyn i iloraz wyrażeń wymiernych
- Znać pojęcie funkcji homograficznej
- Umieć wykonać wykres funkcji homograficznej
- Znać pojęcie i umieć wyznaczyć dziedzinę funkcji homograficznej
- Znać pojęcie równania i nierówności z funkcją homograficzną
- Umieć odróżnić równanie lub nierówność z funkcją homograficzną
- Znać i rozumieć pojecie rozwiązania równania lub nierówności z funkcją homograficzną
- Umieć rozwiązać równania i nierówności z funkcją homograficzną
- Umieć rozwiązać zadania z treścią prowadzące do równań lub nierówności z funkcją homograficzną
- Znać pojęcie funkcji wymiernej
- Znać i umieć wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej
- Umieć podać przykład funkcji wymiernej o z góry zadanej dziedzinie
- Znać pojęcie równania i nierówności wymiernej
- Umieć rozwiązać równanie lub nierówność wymierną
- Umieć rozwiązać zadania z treścią prowadzące do prostych równań wymiernych
- Znać pojęcie dwumianu Newtona
- Umieć rozwijać dwumian Newtona
B: materiał nauczania związany z celami edukacyjnymi
Przedstawione cele szczegółowe powinny być realizowane w następujących działach:
Numer działu |
Nazwa działu |
Klasa, w której materiał powinien być realizowany |
Orientacyjna liczba godzin |
1 |
Funkcja liniowa |
I |
9 |
2 |
Równania i nierówności liniowe.
Układy równań i nierówności liniowych
|
I |
23 |
3 |
Funkcja kwadratowa |
II |
24 |
4 |
Wielomiany |
II |
18 |
5 |
Funkcje wymierne |
II |
17 |
Szczegółowy materiał nauczania
- Funkcja liniowa
- Definicja funkcji liniowej
- Wykres funkcji liniowej i jej własności (2godz.)
- Miejsce zerowe funkcji liniowej
- Monotoniczność funkcji liniowej (2 godz.)
- Równania i nierówności liniowe. Układy równań i nierówności liniowych
- Równanie liniowe jednej zmiennej.
- Rozwiązywanie równań liniowych z zastosowaniem działań na wyrażeniach algebraicznych
- Rozwiązywanie zadań tekstowych.
- Równanie liniowe z wartością bezwzględną (2 godz.)
- Nierówność liniowa jednej zmiennej.
- Rozwiązywanie nierówności liniowych jednej zmiennej.
- Badanie znaku funkcji liniowej.
- Równanie liniowe dwóch zmiennych.
- Układy równań liniowych dwóch zmiennych.
- Interpretacja geometryczna układu równań liniowych dwóch zmiennych
- Rozwiązywanie układów równań liniowych dwóch zmiennych metodą podstawiania.
- Rozwiązywanie układów równań liniowych dwóch zmiennych metodą przeciwnych współczynników.
- Rozwiązywanie układów równań liniowych dwóch zmiennych metoda wyznaczników
- Rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do układów równań liniowych (2 godz.)
- Rozwiązywanie układów równań z parametrem (2 godz.)
- Nierówność liniowa dwóch zmiennych i zbiór jej rozwiązań
- Graficzne rozwiązywanie układów dwóch nierówności liniowych.
- Funkcja kwadratowa
- Funkcja postaci y=ax2
- Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y=a(x-p)2+q.
- Postać ogólna funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c.
- Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
- Obliczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
- Wykres funkcji kwadratowej.
- Sporządzanie wykresów funkcji kwadratowej.
- Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.
- Odczytywanie własności funkcji kwadratowej z wykresu.
- Wzory Viete`a i ich zastosowanie
- Równanie kwadratowe (zupełne i niezupełne) (2 godz.)
- Zastosowanie równań kwadratowych do rozwiązywania zadań tekstowych (2 godz.)
- Badanie znaku trójmianu kwadratowego.
- Rozwiązywanie nierówności kwadratowych (2 godz.)
- Równania kwadratowe z parametrem (2 godz.)
- Nierówności kwadratowe z parametrem (2 godz.)
- Wielomiany
- Wielomian jednej zmiennej.
- Działania w zbiorze wielomianów jednej zmiennej.
- Stopień sumy i iloczynu wielomianów.
- Dzielenie wielomianów.
- Ćwiczenia z dzieleniem wielomianów.
- Podzielność wielomianu przez dwumian (x-p).Twierdzenie Bezout
- Pierwiastki wielomianu.
- Rozkład wielomianu na czynniki za pomocą dzielenia wielomianów.
- Rozkład wielomianu na czynniki metodą grupowania.
- Rozkład wielomianu na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
- Dwumian Newtona (2 godz.)
- Wielomian wielu zmiennych.
- Rozwiązywanie równań wielomianowych.
- Rozwiązywanie nierówności wielomianowych.
- Funkcje wymierne
- Wyrażenia wymierne.
- Działania na wyrażeniach wymiernych.
- Funkcja homograficzna
- Równania z funkcją homograficzną (2 godz.)
- Nierówności z funkcją homograficzną (2 godz.)
- Funkcja wymierna i jej dziedzina
- Rozwiązywanie równań wymiernych (2 godz.)
- Rozwiązywanie nierówności wymiernych (2 godz.)
- Rozwiązywanie zadań z treścią (2 godz.)
C: Procedury osiągania celów
Osiągnięciu szczegółowych celów tj.
- wykształcenia umiejętności operowania obiektami abstrakcyjnymi,
- wykształcenia umiejętności budowania modeli matematycznych dla różnych sytuacji z życia codziennego oraz ich wykorzystywania do rozwiązywania problemów praktycznych,
- wykształcenia umiejętności projektowania obliczeń i ich wykonywania
- poznania podstawowych elementów myślenia matematycznego
- nabycia umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej
- nabycie umiejętności odczytywania i interpretowania innych źródeł informacji (tabele, wykresy, diagramy)
- nabycie umiejętności współpracy w grupie
- nabycie umiejętności dokonywania oceny własnego sposobu uczenia się
- wyrobienie systematyczności, dokładności, staranności, pracowitości oraz koleżeńskości i tolerancji
powinny sprzyjać metody aktywizujące:
- Pytania i odpowiedzi
- Ćwiczenia indywidualne
- Praca w grupach
- Samodzielna praca z podręcznikiem
- Praca z komputerem (wykorzystanie internetu i programów edukacyjnych)
- Prezentacja multimedialna
- Referaty
Oraz metody tradycyjne
D: Opis złożonych osiągnięć ucznia oraz propozycje metod ich sprawdzania i oceny
W programie uwzględniono treści dotyczące wielomianów i funkcji wymiernych. Sformułowano 98 celów szczegółowych kształcenia i wychowania. Materiał nauczania podzielono na rozdziały, a te na tematy realizowane odpowiednio w pierwszej lub drugiej klasie liceum profilowanego. Na każdy temat przeznaczono 1-2 jednostki lekcyjne, po każdym rozdziale proponuje się lekcję powtórzeniową, pracę klasową a następnie przeznaczenie jednej godziny na omówienie jej wyników i analizę błędów.
Niektóre cele szczegółowe (funkcji liniowej, równań i nierówności liniowych, układów równań liniowych) powinny być częściowo zrealizowane w gimnazjum, dlatego też należy zwrócić uwagę przede wszystkim na utrwalenie znanych pojęć.
Propozycje pomiaru osiągnięć ucznia
Przy ocenianiu osiągnięć ucznia należy:
- Poprawnie i jednoznacznie formułować polecenia
- Właściwie stopniować trudności
- Wyznaczać odpowiedni czas pracy
Do pomiaru osiągnięć ucznia proponuje się wykorzystać:
- Prace klasowe podsumowujące działy programowe
- Testy
- Krótkie pisemne sprawdziany i kartkówki
- Odpowiedzi ustne ucznia
- Prace domowe ucznia
- Aktywność ucznia na lekcji
- Przygotowanie referatu
- Udział w konkursach i olimpiadach
Wystawienie oceny powinno się poprzedzić jasno sformułowanymi kryteriami oceniania.
E:informacja o warunkach niezbędnych do realizacji programu
Najważniejszym warunkiem do realizacji programu nauczania matematyki jest prowadzenie zajęć przez nauczyciela spełniającego warunki kwalifikacyjne.
Drugim ważnym warunkiem do realizacji programu jest wyposażenie ucznia, nauczyciela oraz pracownię w pomoce i środki dydaktyczne:
- Podręcznik + zeszyt
- Zbiory zadań, tablice matematyczne
- Zestawy plansz i tablic dotyczące przedmiotu
- Przyrządy geometryczne
- Kalkulatory
- Komputery z dostępem do internetu
- Środki audiowizualne
- Programy edukacyjne
Opracowanie: Donata Orzełek