Podstawowymi działaniami na liczbach matematycznych są:
- dodawanie i odejmowania
- mnożenie i dzielenie

Przy wprowadzaniu dodawania liczb za podstawę posłużą nam różne typy sytuacji i operacji konkretnych, podobnie jak przy kształtowaniu pojęcia liczby, z których najważniejsze uznać można dwa:
- aspekt mnogościowy: suma liczb jest liczbą złączenia dwóch zbiorów rozłącznych o odpowiednio dobranych ilościach elementów,
- aspekt miarowy: suma liczb jako miara wielkości powstałej przez dodanie dwóch wielkości o odpowiednio dobranych miarach.
Mnogościowy aspekt dodawania omówię na podstawie przykładowego zadania. Przeanalizuję jakie czynności i operacje wykonują uczniowie na początkowym etapie poznawania dodawania.
Na parkingu stały 4 samochody. Potem przyjechało jeszcze 5. Ile samochodów stało na parkingu?

Dzieci nie umiejące jeszcze dodawać w pamięci postępują tak:
- najpierw odliczają 4 kółeczka (zastępują samochody) tworząc zbiór czteroelementowy,
- potem odliczają 5 kółeczek tworząc oddzielny zbiór,
- następnie łączą utworzone zbiory i przeliczają złączenie.
Utworzą w ten sposób obraz graficzny tego zadania według znanego sobie schematu łączenia zbiorów.

Następnie zapoznamy dzieci z zapisem warunków zadania symbolami matematycznymi. Nastąpi tu też odkrycie znaku plus, koniecznego do zobrazowania czynności łączenia zbiorów. Przy czym nie chodzi o to, aby dzieci same znalazły znak plus, ale o to, aby przygotować je intelektualnie do przyjęcia tego znaku ze zrozumieniem. Początkowo dzieci będą kojarzyć ten znak z wyrażoną najczęściej w zadaniu czynnością fizyczną taką jak: dojechało, dobiegło, doszło, dobrano i inne. Stopniowo zaś przez dostarczenie zadań, w których występują zbiory niejednorodne, a dodawanie jest ukryte – nie wyrażone czynnością, dzieci dojdą do słusznych wniosków, że wystarczy dodać wielkości określające liczebność zbiorów, żeby wykonać działanie arytmetyczne.

Bardzo ważne jest również uświadomienie dzieciom, że nie zawsze tam, gdzie mamy dwa zbiory, zadanie znalezienia liczby elementów i ich złączenia polega na dodawaniu licz elementów tych zbiorów. W tym celu można się posłużyć następującym zadaniem: Janek ma w swojej bibliotece 4 książki o zwierzętach i 5 książek z kolorowymi ilustracjami. Wszystkich książek w bibliotece Janka jest 7. Czy to możliwe?

Rozwiązując to zadanie, dzieci zauważają, że co najmniej dwie książki o zwierzętach zawierają jednocześnie kolorowe ilustracje. Tę sytuację mogą dzieci przedstawić na odpowiednim schemacie graficznym lub za pomocą klocków. Książki są tu reprezentowane klockami, a każda cecha książki jest reprezentowana inną cechą klocka: „o zwierzętach” reprezentuje trójkątny kształt, zaś „z kolorowymi ilustracjami” – kolor czerwony. Badając ten konkretny zbiór klocków, dzieci przekonają się, że opisana sytuacja jest możliwa. Oczywiście 4+5=9, ale w tym przypadku liczba elementów złączenia danych zbiorów nie jest równa sumie licz elementów tych zbiorów, gdyż zbiory nie są rozłączne.

Zadanie to ma jeszcze jedną zaletę dydaktyczną. Pokazuje, że aby rozwiązać zadanie rachunkowe, nie zawsze wystarczy wykonać narzucające się w naturalny sposób działanie arytmetyczne, przedtem trzeba zrozumieć opisaną w zadaniu sytuację.

Przy operacji dodawania trzeba wcześnie uwzględnić liczbę 0. Łatwo związać dodawanie 0 z dołączaniem zbioru pustego. Dzieci jednak niewiele by z tego zrozumiały, gdyż pojęcie zera jest równie trudne i abstrakcyjne jak pojęcie zbioru pustego. Dlatego lepiej, żeby dzieci z pomocą konkretnych przykładów odkryły, że dodawanie zera nie zmienia liczby (tj. dodając 0 do 5 otrzymujemy tę samą liczbę 5). W dalszym ciągu wystarczy korzystać już tylko z tej własności dodawania 0.

Przy wprowadzaniu miarowego aspektu dodawania posłużymy się długością, ponieważ jest to wielkość znana dzieciom. Poza tym długość łatwiej ocenić w przybliżeniu, co sprzyja upoglądowieniu operacji.

Dodawanie w tym aspekcie stanie się bardziej oczywiste, gdy posłużymy się klockami Cuisenaire’a. Weźmy dwa klocki różniące się długością np. klocek 2 i klocek 4. Weźmy teraz trzeci klocek przez połączenie klocka 2 i klocka 4. Miarą tego utworzonego klocka będzie 2+4 tzn. jest ona równa sumie miar tych klocków.

Dla upoglądowienia dodawania w aspekcie miarowym możemy również posłużyć się osią liczbową. Jeżeli chcemy wykonać dodawanie np. 2+4 to: rysujemy oś liczbową i wychodząc z punktu 0 przesuwamy się w kierunku osi o dwie jednostki. W ten sposób tworzymy odcinek o długości 2. Teraz do końca tego odcinka dodamy odcinek o długości 4. W tym celu przesuwamy się w kierunku osi od punktu 2 jeszcze o 4 jednostki.
Oprócz wymienionych już aspektów mnogościowego i miarowego, liczby naturalne
mają jeszcze trzeci aspekt – porządkowy, o dużym znaczeniu praktycznym. Spotykamy się z nim, gdy kolejnymi numerami oznaczamy elementy zbioru: pierwszy, drugi, trzeci, itd. Podczas tej czynności oznaczamy każdy element zbioru liczebnikiem porządkowym w formie słownej bądź symbolicznej. Kiedy indziej numeracja służy do ustalenia jakiegoś ważnego porządku elementów zbioru np. numery drużyn w tabeli rozgrywek sportowych wskazują, że drużyna pierwsza jest najlepsza, druga jest od niej gorsza itd. Bywają również takie sytuacje, gdzie numerowanie jest związane z przeliczaniem zbioru i służy przede wszystkim znalezieniu liczby jego elementów np. tzw. odliczanie przez osoby stojące w szeregu ma na celu ustalenie liczebności tego szeregu. Możemy więc powiedzieć, że jeżeli elementom pewnego zbioru przyporządkowujemy kolejne liczebniki naturalne „pierwszy”, „drugi” itd., to ostatni przyporządkowany liczebnik określa zarazem liczbę elementów tego zbioru. Fakt ten wiąże porządkowy aspekt liczby naturalnej z jej aspektem mnogościowym. Zauważymy też, że odliczanie, a więc kolejne numerowanie elementów zbioru, jest najczęściej stosowanym sposobem znajdowania liczebności zbiorów niezbyt licznych.
Jest bardzo ważne, by niemal od samego początku nauki dodawania ćwiczyć z dziećmi nie tylko znajdowanie sumy danych liczb, ale także operację zwrotną: rozkład danej liczby na składniki. Jest to ważne dla prawidłowego pamięciowego utrwalenia dodawania tak, by znajdowanie składnika dopełniającego dany składnik do danej sumy, stanowiące przygotowanie do odejmowania mogło być przez dzieci wykonywane od razu racjonalnie, to jest przez rozkład tej sumy na odpowiednie składniki nie zaś drogą prób. W ćwiczeniach tych bardzo pomocne są klocki „kolorowe liczby”. Układanie „dywaników” i pamięciowe ich odtwarzanie ma na celu właśnie opanowanie rozkładu na składniki liczb w zakresie dziesiątki.
Punktem wyjścia nauczania odejmowania będą dwie zasadnicze różne interpretacje:
- pojęcie różnicy oparte na ujmowaniu (ubywaniu, czyli zmniejszaniu)
- pojęcie różnicy oparte na dopełnianiu

Ujmowanie występuje w następującym zadaniu:
Na boisku było 5 dzieci, potem odeszło 2. Ile dzieci zostało?
Dzieci nie będą miały trudności z rozwiązaniem tego zadania, ponieważ sytuacja życiowa w zadaniu sugeruje odejmowanie. Wykonanie operacji odejmowania może być przedstawione graficznie w znany dzieciom sposób w postaci różnicy zbioru i jego podzbioru. Inna interpretacją sytuacji z zadania będzie skracanie odcinka długości 5 o klocek 2. Opierając się na podobnych przykładach kształtujemy rozumienie różnicy i wprowadzamy symbol odejmowania minus.
Pojęcie różnicy oparte na dopełnianiu traktować należy jako podstawową interpretację odejmowania, jest to niewątpliwie trudne ale mające duże zalety dydaktyczne. Zapobiegniemy tym samym utrwaleniu u dziecka przekonania, że odejmowanie zawsze oznacza zmniejszanie. Przekonanie to utrudniłoby później w klasach starszych zrozumienia pojęcia odejmowania licz ujemnych.
Z dopełnianiem spotykamy się w następującym zadaniu:
Adam miał 5 zł. Kupił kopertę. Pozostało mu 3 zł. Ile wydał na kupno koperty?
Dziecko rozwiązując to zadanie odliczy 3 kółeczka reprezentujące 3 złote, tworząc zbiór trzyelementowy. Następnie będzie dopełniać go do zbioru 5 elementowego dodając po jednym kółeczku. Przy tym musi odpowiedzieć na pytanie ile elementów ma zbiór dopełniający (wydana kwota). Zatem zbiór o poszukiwanej liczbie elementów jest różnicą zbioru 5 elementowego i jego 3-elementowego podzbioru. Wobec tego liczba jego elementów to 5-3. Dzieciom łatwiej będzie dojść do tego wniosku, gdy posłużą się klockami Cuisenaire’a. Konkretne manipulacje doprowadzą do znalezienia klocka dopełniającego. A oto inne zadanie, w którym mamy do czynienia z dopełnieniem.

Hania miała 4 znaczki. Kilka jeszcze dostała od Ewy. Ma teraz 7 znaczków. Ile znaczków dostała od Ewy?
Tu operacja dopełniania jest jeszcze bardziej widoczna. Zbiór 4 elementowy dopełniamy do zbioru 7 elementowego.

Początkowo tego typu zadania dzieci będą rozwiązywać metodą „prób i błędów”, potem korzystać zaczną z rozkładów liczb na składniki, będą więc uczyły się rozumować następująco:
- mamy się dowiedzieć ile trzeba dodać do 4, aby otrzymać 7,
- pamiętamy, że 7= 4+3, a więc szukaną liczbą jest 3.
Jest to poprawne rozumowanie ale w łatwych przypadkach odejmowania. W trudniejszych odejmowanie w sensie dopełniania powinno być tłumaczone jako rozwiązywanie równać typu a+x=b.
Takie ujęcie pozwoli na problemowe traktowanie odejmowania, a także na samodzielne odkrywania przez uczniów reguł wykonywania tego działania w różnych zbiorach liczbowych. Pozwoli to na przybliżenie strukturalnego aspektu matematyki.

Mnożenie jako obliczanie pola prostokąta

Naturalnie i silnie poglądową interpretacją mnożenia liczb jest pole prostokąta. Podstawę dla wprowadzenia tego działania stanowi następujące określenie:
Iloczyn liczb a i b, oznaczamy a∙b, jest liczbą kwadratów jednostkowych, z których składa się prostokąt o długości a jednostek i szerokości b jednostek.
Określenie to pozostanie w mocy także wówczas, gdy długości boków prostokąta będą ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi, z tym tylko, że liczyć będziemy wówczas również części kwadratów jednostkowych. Oparte na nim wprowadzenie mnożenia będzie więc poszukiwanym, uniwersalnym sposobem, usuwającym konieczność późniejszego wprowadzania na nowo pojęcia iloczynu w nowych zbiorach liczbowych, łagodzącym więc znacznie związane z tym pojęciem trudności.

Metodyka takiego wprowadzania iloczynu może być następująca.

Etap I

W ramach ćwiczeń na dodawanie uczniowie znajdują liczby kratek, z których złożone są narysowane figury. Odkryją przy tym, ewentualnie pod wpływem dyskretnej sugestii nauczyciela, dwa wygodne sposoby liczenia kratek, przez dodawanie liczb kratek w szeregach poziomych lub w szeregach pionowych. Dzieci mogą także budować same dowolne figury i zadawać je sobie wzajemnie jako zadania (dla policzenia kratek), lub budować je z kratek, których liczba będzie z góry zadana (przez nauczyciela lub kolegę), co da dodatkowo okazję do ćwiczeń w dopełnianiu liczb do danej sumy. Ćwiczenia można urozmaicić przez użycie różnych materiałów (geoplan, kostki, „kolorowe liczby”), a także wprowadzając odpowiednie zadania z treścią.

Etap II

Wśród różnych figur w ćwiczeniach tych wystąpią również prostokąty. Dzieci dostrzegą, że w takim przypadku dla znalezienia liczby kratek trzeba sumować jednakowe składniki, a przy tym można to robić na dwa sposoby. Wprowadzenie pojęcia iloczynu nastąpi dopiero po pewnym utrwaleniu się tego spostrzeżenia na różnorodnych przykładach zawierających także zadania na układanie prostokątów z danej liczby kratek. W starannie wybranym momencie nauczyciel poinformuje uczniów, że liczba kratek w prostokącie nazywa się iloczynem jego długości i szerokości, a znajdowanie wartości iloczynu nazywamy mnożeniem, pokaże przy tym sposób zapisywania iloczynu.

Etap III

W trzecim etapie uczniowie obliczać będą iloczyny stosując już przy tym zapis, np. 7∙2. Mogą to robić jakkolwiek, a więc także rysując odpowiedni prostokąt lub budując go z konkretnych materiałów. Można przypuszczać, że w miarę ćwiczeń coraz mniej dzieci będzie potrzebowało takiego poglądowego oparcia i stosować będzie odkryty już dawniej sposób – dodawanie składników równych jednemu czynnikowi w liczbie równej drugiemu czynnikowi. Należy zachęcać je do znajdowania każdego iloczynu dwoma sposobami, np. 7∙2 i zarazem 2∙7. Umotywować to można koniecznością sprawdzenia poprawności rachunku. Będzie to zaś miało ważną zaletę: przemienność mnożenia będzie przez dziecko od początku operatywnie przyswajana.

Etap IV

Etap ten będzie stopniował racjonalizacją i usprawiedliwianiem znajdowania iloczynów, a zamknie go odkrycie i opanowanie pisemnego algorytmu mnożenia w klasie III oraz nieco wcześniej pamięciowe opanowanie tabliczki mnożenia.

Należy dążyć do wytworzenia w klasie atmosfery, w której racjonalizacja rachunku będzie sprawiała dzieciom radość i satysfakcję. Jest to warunek pełnej skuteczności tych ćwiczeń, a przy tym atmosfera taka sprzyjając utrwaleniu się postawy dążenia do racjonalizacji każdego działania ma ogromne znaczenia ogólno wychowawcze. W toku tych ćwiczeń i rozwiązywania różnych zadań z treścią dzieci będą stopniowo zapamiętywały różne iloczyny, przede wszystkim liczb jednocyfrowych. Trzeba je do tego zachęcać, motywując to użytecznością pamiętania jak największej ilości iloczynów, ale nie zmuszać przedwcześnie do pełnego opanowania tabliczki mnożenia, co wielu dzieciom stwarza poważną, a niepotrzebną trudność. Na drodze do racjonalizacji rachunku nauczyciel w naturalny sposób doprowadzi także do odkrycia przez uczniów pierwszych algorytmów mnożenia pisemnego (przez 10 i przez pełne dziesiątki), nowego i ważnego na tej drodze kroku. Algorytmy nie mogą jednak całkiem wyprzeć rachunku pojęciowego, który powinny dzieci stosować w klasach początkowych zawsze w przypadku małych liczb, a przy tym zawsze dążąc do jego maksymalnego uproszczenia. Zabezpieczy je to przed wywierającą ujemny wpływ na kształcenie matematyczne uczniów przedwczesną automatyzacją i formalizacją rachunku.

Pojęcie ilorazu

Współczesna dydaktyka matematyki daje następujące wskazania ogólne dotyczące nauki o ilorazie w klasie początkowej:
1. Nauki o mnożeniu od nauczania o nauczania o dzieleniu nie należy rozdzielać w czasie tak, jak to było niejednokrotnie w nauczaniu tradycyjnym. Dziś wprowadzamy pojęcie ilorazu w niewielkim odstępie czasu po wprowadzeniu pojęcia iloczynu. Dziecko wcale nie musi najpierw opanować tabliczki mnożenia, a następnie dopiero nauczyć się wykonywania dzielenia. Przeciwnie, ćwiczenia w dzieleniu pojętym jako działanie odwrotne do mnożenia, to bardzo skuteczne środki przyswajania także tabliczki mnożenia. Wiadomo z psychologii, że bezpośrednie wiązania operacji myślowej z operacją do niej odwrotną nie tylko ułatwia ujmowanie pojęć, ale sprzyja też zdobywaniu wiedzy.
2. Przy wprowadzaniu pojęcia ilorazu należy w równej mierze uwzględniać jego definicję algebraiczną (rozwiązanie równania pewnego typu) jak i źródła tego pojęcia tkwiące w praktyce (podział i mieszczenie).
3. Przy wyjaśnianiu pojęcia ilorazu należy uwzględniać w równej mierze oba aspekty liczby: kardynalny i miarowy.
4. Dopuszczać początkowo manipulacyjne rozwiązywanie zadań, w których stosuje się dzieleni, przy czym manipulację należy tu rozumieć szeroko: może to być konkretna aktywność dziecka w świecie materialnych przedmiotów, lub czynności konkretne wykonywane na ich zastępnikach, na rysunkach, schematach, itp. Przechodzić stopniowo do sytuacji, w których manipulacja byłaby już niemożliwa lub uciążliwa, zaś rozwiązanie arytmetyczne łatwe, uświadamiając dzieciom rolę arytmetyki i dzielenia w szczególności w racjonalizacji, upraszczaniu, ułatwianiu ich działalności. Należy jednak pozwalać przez dłuższy czas wracać do manipulacji z wykorzystaniem różnych materiałów tym dzieciom, które tego będą jeszcze potrzebowały.
5. Nie zaniedbując rozwiązywania tradycyjnych zadań pewnych typów stawiać dziecko w sytuacjach nietypowych, w których zastosowanie dzielenia nie jest natychmiastowe, ale jest wynikiem dokładniejszej analizy zadania.
6. Nie wyuczać dzieci żadnych werbalnych sformułowań, twierdzeń, ale wykorzystywać różne sposoby rozwiązywania zadań do stopniowego uświadamiania im związków między arytmetycznymi działaniami.



Opracowanie: mgr Beata Kolan - Orzeszek

Wyświetleń: 15700