SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA MATEMATYCZNEGO – KL V/VI

TEMAT: Dziesiątkowy system pozycyjny. Niedziesiątkowe systemy
liczenia (system dwójkowy).

1. Co to jest system dziesiątkowy/pozycyjny?
2. Zapis liczby naturalnej w postaci: 100x + 10y + z, gdzie x, y, z są liczbami naturalnymi. Np. 325 = 3x100 + 2x10 + 5.
3. System dwójkowy: definicja

Naturalny system dwójkowy (ang. NBS - Natural Binary System) jest najprostszym systemem pozycyjnym, w którym podstawa p = 2. System posiada dwie cyfry 0 i 1.

Pierwsze 11 cyfr w systemie dwójkowym

dziesiętne 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
dwójkowo 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011

Np. 8 = 1000, ponieważ

8 : 2 = 4 r. 0
4 : 2 = 2 r. 0
2 : 2 = 1 r. 0
1 : 2 = 0 r. 1 (wynik czytamy od dołu)

4. Uczniowie zamieniają kolejne liczby naturalne na system dwójkowy
5. Zamiana liczby w systemie dwójkowym na liczbę naturalną (kolejne potęgi, w których podstawą jest liczba 2)

7. Działania na liczbach w systemie dwójkowym:

Dodawanie liczb binarnych

Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jedna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską.
Jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 w pamięci.
Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania cyfr w tej kolumnie.
Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera, np.:

1 1
110100
+ 10101
1001001

Mnożenie liczb binarnych

Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:

0 ∙ 0 = 0
0 ∙ 1 = 0
1 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1

Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to wielokrotne odejmowanie.

8. Inne systemy liczenia (system szesnastkowy, ósemkowy).
Jako ciekawostkę uczniowie mają dowiedzieć się na następne zajęcia jak powstaje inne systemy liczenia.

Wyświetleń: 1945