Wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego

SCENARIUSZ LEKCJI Z MATEMATYKI

Przedmiot: matematyka

Klasa: III klasa Gimnazjum nr 1 w Oleśnicy

Czas: 2 x 45 min (w pracowni komputerowej)

Liczba uczniów: 24 (uczniowie tworzą grupy po dwie osoby przy komputerze)

Środki dydaktyczne:
- 12 stanowisk komputerowych,
- algorytm rozwiązywania równania kwadratowego,
- program komputerowy "Excel 97".

Cele:
- zapoznanie uczniów ze sposobami wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego poprzez zastosowanie algorytmu "delty",
- doskonalenie umiejętności wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego,
- doskonalenie umiejętności drukowania oraz przechowywania wyników własnej pracy na dysku.

Uczniowie potrafią:
- swobodnie poruszać się w środowisku wykorzystywanego arkusza,
- wypełniać arkusz danymi,
- zapisywać i odczytywać przygotowany arkusz,
- drukować dokument posługując się szkolną drukarką.

Uczniowie tworzą grupy 2 osobowe. Jeden uczeń dyktuje dane, a drugi
wprowadza je do komputera i oblicza; w następnym przykładzie jest zamiana zadań.

PRZEBIEG LEKCJI

Nauczyciel przedstawia problem

Zajmiemy się dzisiaj na lekcji algorytmiką zadania polegającego na wyznaczaniu pierwiastków równania kwadratowego.

Zagadnienie algorytmu

Słowo algorytm pochodzi od brzmienia fragmentu nazwiska arabskiego matematyka, żyjącego na przełomie VIII i IX wieku - Muhammada ibn Musa

al.- Chorezmiego (z Chorezmu).

ALGORYTM jest przepisem rozwiązywania postawionego zadania, będącym dokładnie określonym układem elementarnych instrukcji wraz z porządkiem ich wykonywania. Każda instrukcja ma precyzyjnie określoną interpretację za pomocą podstawowych operacji arytmetycznych i logicznych, a jej wykonanie jest skończone i ma jednoznacznie określony efekt końcowy. Jako elementy komunikacji ze światem w algorytmie można wyróżnić: dane, na których są wykonywane obliczenia i wyniki, które są oczekiwanym rezultatem działań.

ALGORYTM, jako opis sposobu rozwiązywania zadań jest często zapisywany w języku programowania, by umożliwić jego wykonanie za pomocą komputera.

Na lekcji skorzystamy z najczęściej stosowanych wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, czyli z metody, którą często nazywamy algorytmem "delty".

Równanie kwadratowe podaje się na ogół w postaci:

ax² + bx + c = 0

zatem danymi są trzy liczby: a, b, c - współczynniki trójmianu, zakłada się przy tym, że współczynnik a jest różny od zera, natomiast wynikiem są pierwiastki równania.

ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA KWADRATOWEGO

Dane: Współczynniki a, b, c równania ax² + bx + c = 0

Wyniki: Pierwiastki równania ax² + bx + c = 0, jeśli dane współczynniki rzeczywiście określają równanie kwadratowe, to wypisz odpowiedni komunikat.

Krok 1: Jeśli a = 0, to wypisz komunikat, że nie jest to równanie kwadratowe i zakończ algorytm.

Krok 2: Oblicz wartość wyróżnika Δ = b² - 4ac

Krok 3: Jeśli Δ < 0, to wypisz komunikat, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków i zakończ algorytm

Krok 4: Jeśli Δ = 0, to oblicz oba pierwiastki z tego samego wzoru x₁ = x₂ = -b/2a, wypisz ich wartość i zakończ algorytm

Krok 5: Jeśli Δ > 0, to oblicz pierwiastki x1 i x2 ze wzorów

- b - Δ
x1 = ------------
2a

- b + Δ
x² = ------------
2a

wypisz ich wartości i zakończ algorytm.

ĆWICZENIE I

Korzystając z programu komputerowego "Excel 97" oraz podanego algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego wyznacz pierwiastki następujących równań:

1) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

a) x² - 6x + 5 = 0
b) x² - 2x - 15 = 0
c) 2x² + 7x + 3 = 0
d) 2x² + 4x + 3 = 0
e) -10x² - x + 1/5 = 0
f) x² - 12x + 36 = 0

2) a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0

a) x² - 36 = 0
b) 2x² - 50 = 0
c) -x² = 49 = 0
d) x² = 100
e) 2x² = 18
f) x² = 625

3) a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0

a) x² + 4x = 0
b) x² - 5x = 0
c) x² = 7x
d) -x² = -12x
e) x² - x = 0
f) 2x² + 10x = 0

WSKAZÓWKA

1) wstaw - funkcje - matematyczne - pierwiastek
2) format - komórki - indeks dolny

W naszych przykładach współczynniki równania są tak dobranymi liczbami wymiernymi, że nie ma problemu z obliczeniem delty i pierwiastków. Do niektórych wartości współczynników podany na lekcji algorytm może dawać bardzo niedokładne wartości pierwiastków np. dla

a = 1 b = -6,433 c = 0,009474

W takich przypadkach do wyznaczenia pierwiastków równania kwadratowego oprócz algorytmu "delty" trzeba będzie wykorzystać wzory Viete'a, które poznacie dopiero w szkole średniej. Utworzony algorytm, będzie algorytmem poprawnym dla obliczeń komputerowych, jednak jego uzasadnienie nie jest całkiem proste.

Po zakończeniu lekcji uczeń będzie umiał:

- bezpiecznie posługiwać się komputerem w środowisku przystosowanym do potrzeb ucznia,
- wyróżniać te postępowania, które można nazwać algorytmem, wyznaczać pierwiastki równania kwadratowego,
- korzystać z arkusza kalkulacyjnego,
- omówić korzyści z zastosowania algorytmu "delty".

Opracowanie: Krystyna Krawczyk

Wyświetleń: 3421