Czy koło musi być okrągłe?

W klasie pierwszej na lekcjach matematyki realizujemy temat: równanie okręgu. Samo pojęcie i kształt okręgu jest uczniom bardzo dobrze znane, może nawet jeszcze z przedszkola. Proponuję na przykładzie okręgu przybliżyć nieco zagadnienie odległości i ukazać go w zupełnie innym świetle.

Temat: Czy koło musi być okrągłe?
Typ lekcji: wprowadzająca
Cele:
- uczeń rozumie pojęcie odległości euklidesowej oraz formalny opis koła
- rozumie różnicę pomiędzy odległością euklidesową i nieeuklidesową
- potrafi sporządzić wykres koła z prostą odległością
Przebieg lekcji:

I. Przez pierwsze 10 min metodą pogadanki heurystycznej uzyskujemy od uczniów formalny zapis nierówności opisującej koło

oraz interpretację odległości euklidesowej jako najkrótszej drogi pomiędzy wyróżnionymi punktami. W tym miejscu dobrze jest przypomnieć znany już uczniom wzór odwołujący się do twierdzenia Pitagorasa i uświadomić, że jest to wzór na odległość euklidesową:



Dalej formułujemy definicję odległości; uczniowie zapisują na tablicy aksjomaty posługując się znaną już sobie symboliką:
- d(A,B) = 0 A=B
- d(A,B) = d(B,A) dla dowolnych punktów A, B
- d(A,B) + d(B,C) d(A,C) dla dowolnych punktów A,B,C

Przy ostatnim warunku zwanym nierównością trójkąta można rozważyć przypadki pokazując interpretację geometryczną.

II. W kolejnym punkcie (ok. 10 min.) ponownie metodą pogadanki uświadamiamy uczniom, że przecież w praktyce nie zawsze możemy dostać się z punktu A do B w sposób najkrótszy, wystarczy, że po drodze napotkamy budynek i będziemy zmuszeni obejść go dookoła. Jeśli przyjrzymy się sferze to w trójkącie zbudowanym z dwóch południków i równoleżnika suma kątów będzie większa od 180. Rzeczywistość nie skutkuje niestety geometrią euklidesową.

Dzielimy uczniów na grupy, np. poprzez rozlosowanie kolorowych karteczek, i prosimy by spróbowali sporządzić wykres koła w odległości rzeka zdefiniowanej w sposób następujący:

Każda z grup otrzymuje jedno z zadań:
- narysuj jak wygląda droga pomiędzy punktami A, B jeśli znajdują się po przeciwnej stronie rzeki (osi x)
- jak wygląda droga jeśli punkty znajdą się po tej samej stronie rzeki
Możemy ten etap podsumować za R Engelkingiem proponując następującą interpretację metryki rzeki: "wyobraźmy sobie pewną społeczność zamieszkującą gęsty lat, przez który przepływa rzeka (oś x). Mieszkańcy, by móc zaopatrywać się w wodę, wyrąbali ścieżki prowadzące od ich domów prostopadle do rzeki. Aby dostać się tam z miejsca A do B najprościej jest zatem iść prostopadle do rzeki, popłynąć wzdłuż niej tak daleko, by znaleźć się w punkcie najbliższym punktu B i znów przejść przez las."

III. W ciągu kolejnych 20 min grupy otrzymują za zadanie sporządzić wykres koła o środku O=(2,3) i promieniu r = 4. W wyniku podjętych czynności powinniśmy otrzymać figurę jak na rysunku poniżej:



Sporządzamy rysunek na tablicy wraz z komentarzem:
"Z punktu O możemy pójść maksymalnie 4 jednostki w górę lub w dół gdzie trafimy na rzekę. Z punktu rzecznego możemy przesunąć się o jedną jednostkę w dół lub popłynąć wzdłuż rzeki jedną jednostkę w prawo albo jedną w lewo. Nasze koło jak widać bynajmniej nie jest okrągłe. .."

IV. Zadanie domowe polega na sporządzeniu wykresu koła o tym samym środku ale promieniu r = 2 oraz sformułowaniu odpowiednich wniosków dotyczących przypadków ze względu na wielkość promienia a odległość punktu O od rzeki. Bardziej ambitnych uczniów można poprosić o wykazanie, że odległość rzeka spełnia omawiane na początku lekcji trzy warunki definicyjne lub o narysowanie koła w innej metryce.
Jeśli nauczyciel dysponuje wolnymi lekcjami można pokusić się o poszerzenie zagadnienia geometrii nieeuklidesowych. Istotnym jest fakt, że uczniowie mają świadomość innych odległości niż euklidesowe, bo przecież z takimi mamy do czynienia na co dzień.

Zagadnienie metryk i geometrii nieeuklidesowych znajdziemy w:
1. R Engelking "Topologia ogólna"
2. K. Kuratorski "Wstęp do teorii mnogości i topologii"
3. W.R.Fuchs "Matematyka popularna"

Opracowanie: Beata Gorzkowska

Wyświetleń: 2633